viernes, 9 de septiembre de 2016
miércoles, 7 de septiembre de 2016
domingo, 24 de enero de 2016
domingo, 17 de enero de 2016
Funciones matematicas Denzel Ramirez
Luego obtuvimos el area del circulo mas pequeño con la formula (PI) (r)/2, nos dio el resultado a 628.3185
Despues se obtiene el area del triangulo que forma en el medio del circulo pequeño, con la formula de (b) (h)/2 que da igual a 400.
Despues se restan los resultados del circulo pequeño menos el area del triangulo que da a un total de 228.3185 y ese resultado se divide entre dos y el resultado da a 114.59
que ese resultado se le restara al area del circulo grande que da un total de 514.3285
En este cuadrado se muestra su area de 9, trazamos las dos diagonales, donde las diagonales se intersectan y forman angulos de 90* que se cortan en el punto del medio de las diagonales. para resolver este problema se necesitara usar el teorema de pitagoras y nos quedaran dos circulos entonces, r2 mas r2 = 3 2r"= 9
r = 9/2 = 4.5 y asi mismo sacamos su raiz que da igual a 2.1213.
En esta figura las dos circunferencias tienen un radio de 20 cm cada una y son tangentes entre sí. Determina el área sombreada.
El área del cuadrado es de (40)(40) que es igual a 1600 después dividimos 1600 entre 2= 800
y 800 entre 2 nos dio de resultado 400
Pi (20)² entre 2 nos dio de resultado 628.32
628.32 - 400 =228.32
El área del cuadrado es de (40)(40) que es igual a 1600 después dividimos 1600 entre 2= 800
y 800 entre 2 nos dio de resultado 400
Pi (20)² entre 2 nos dio de resultado 628.32
628.32 - 400 =228.32
lunes, 11 de enero de 2016
QUE ES UN RECTANGULO AUREO?
La proporción áurea se basa en una médida o número que recibe también el nombre de áureo, de oro, y se representa por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula). Es una proporción de más o menos: 2 + 1,6 , es decir, que una medida a=2 más otra medida b=1,618…. forman una medida que sumaría c= 3,618…. Aunque esta es la forma que yo me he inventado para acabar de comprender rápidamente esta proporción y para detectar que en una composición si que existe esta proporción áurea entre unas medidas a, b y c. Y que, por lo tanto, existe un equilibrio mágico donde esta medida contiene a otra más un poquito extra.
Este es un rectángulo especial como logramos ver. Los griegos lo consideran de peculiar belleza y lo utilizaron correctamente en su arquitectura.Dicen que el número áureo es un número irracional, que no encaja en las medidas exactas. Y efectivamente, porque la medida b es como un pequeño infinito, que nunca se acaba pero hacia más pequeño. El número áureo está compuesto por un número infinito de dígitos que además no siguen pauta alguna por lo que nos ayudamos de la notación aritmética para conocerlo:
El Rectángulo Áureo
Este polígono que a menudo pasa desapercibido para nuestros sentidos y es sumamanete fácil de encontrar sí, pero más fácil aún es darnos cuenta de si observamos es un rectángulo áureo: suficiente con dividir la altura y la base y ver si el resultado se aproxima a 1,618. ¿Sí? Entonces es un rectángulo áureo.
Por otro lado, si deseamos comparar un par de rectángulos distintos y ver si cumplen la divina proporción basta con colocar uno sobre otro haciendo coincidir uno de sus vértices. Entonces, trazamos la diagonal y si coinciden casos es que son similares y por tanto si el primero era áureo, el segundo también lo será.
COMO EMPEZO EL RECTANGULO AUREO?
Leonardo Pisano, también conocido como Fibonacci, fue un famoso matemático italiano que difundió por Europa el sistema de numeración árabe (1, 2, 3...) con base decimal y con un valor nulo (el cero). Pero el gran descubrimiento de
Fibonacci fue la Sucesión de Fibonacci que, posteriormente, dió lugar a la proporción áurea.
Su descubrimiento se lo debemos, como tantas otras cosas, a los griegos. Ellos le dieron un tratamiento básicamente geométrico, y fue Euclides en su obra elementos uno de los primeros que se refirió a este concepto.
COMO SE REALIZA UN RECTANGULO AUREO?
El rectángulo áureo tiene una propiedad muy interesante. A partir de él podemos obtener una infinidad de nuevos rectángulos áureos. El proceso es iterativo y consiste en remover a cada rectángulo áureo un cuadrado, la superficie que queda luego de hacer esto produce un nuevo rectángulo áureo.
Es posible también aplicar el proceso a la inversa: a partir de un rectángulo áureo, puede construirse otro más grande añadiéndole un cuadrado de lado igual al lado mayor del rectángulo original.
Pasos a seguir, para poder realizar el rectángulo aureo:
Para hacer el rectángulo ÁUREO dibujamos un cuadrado. Sobre este cuadrado marcamos el punto medio de uno de los lados. A continuación trazamos un arco de circunferencia cuyo radio sea desde este punto medio, hasta el vértice superior tratando de encontrar la prolongación del lado inferior.
El segundo lo obtenemos trazando paralelas a los lados del cuadrado. A partir de ahora obtener rectángulos áureos es fácil, basta con trazar solo sobre el lado más largo del rectángulo anterior un cuadrado, y así obtendríamos nuestro segundo rectángulo áureo.
Estos rectángulos tienen una propiedad interesante: si unimos mediante arcos de circunferencias los vértices consecutivos de los cuadrados, obtendremos una curva especial que se llama espiral de Durero.
PARA QUE PUEDE AYUDARTE EL RECTANGULO AUREO?
Bueno el rectángulo aureo nos ayuda mucho en la actualidad ya que este proceso o método lo usan arquitectos, los profesores de educación, los pintores, fotógrafos etc…
Aquí les explicare un poco de cómo se utiliza en la arquitectura como en los demás conceptos:
La primera aparición del número de oro en la arquitectura fue construida hacia el año 2600 a.C en la pirámide de Keops.
Este número nos deparará muchas más sorpresas. Porque también los griegos lo utilizaron en la simetría del Partenón que contiene rectángulos que se basan en el número de oro. Con respecto al Partenón, las fachadas son un rectángulo áureo
CURIOSIDADES:
6. La sucesión de Fibonacci está llena de anécdotas matemáticas que harán las delicias de los más curiosos. Por ejemplo: si sumamos 10 números consecutivos de la serie elegidos al azar, el resultado siempre es múltiplo de 11.
21+34+55+89+144+233+377+610+897+1.597=4.147=11x377
89+144+233+377+610+987+1.597+2.584+4.181+6.765=17.567=11x1.597
De hecho, los resultados son iguales a multiplicar por 11 el séptimo número elegido, en estos dos casos, 377 y 1.597
7. Se ha estudiado mucho la sucesión de Fibonacci y el conocimiento sobre ella es amplio, pero no completo. De hecho, hay una conjetura aún sin demostrar: que la sucesión de Fibonacci contiene infinitos números primos.
Pero qué tiene de especial ese número? ¿Por qué no es como los demás? Del mismo modo que el número Pi (3,141592...) representa el cuerpo geométrico más perfecto, la esfera, 1,618033... es el número de la belleza. El monje del siglo XV Luca Pacioli, quizá influido por la idea de que los nuevos conocimientos debían adaptarse a las creencias de la Iglesia, lo llamó La Divina Pro porción e indicó: "Tiene una correspondencia con la Santísima Trinidad, es decir, así como hay una misma sustancia entre tres personas -Padre, Hijo y Espíritu Santo-, de igual modo una misma proporción se encontrará siempre entre tres términos, y nunca de más o de menos". Lo que se esconde tras esta esotérica frase, más propia de
alquimistas y ocultistas que de matemáticos, es ese número, el cual se cree que fue bautizado por Leonardo da Vinci con el nombre de número áureo.
EN EL ARTE:
Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca Pacioli editado en 1509.
En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.
La trigonometría y el número de oro
Consideremos un pentágono regular en el cual se han dibujado las diagonales. En esta figura sólo aparecen tres ángulos diferentes. Miden 36º, 72º y 108º. La relación entre estos ángulos es la siguiente: 72 es el doble de 36 y 108 es el triple de 36. Hay varios tipos diferentes de triángulos isósceles, de los cuales seleccionamos tres: los triángulos ABE, ABF y AFG. El resto de triángulos son semejantes a alguno de estos y no aportan información adicional.
QUE ARTISTAS HAN UTILIZADO EL TRIANGULO AUREO?
La pirámide de Keops, el Partenón, Edificio Naciones Unidas, el ADN, hojas, pétalos, brócoli, semillas, tarjetas de crédito, entomología, la Mona Lisa , el Hombre de Vitrubio, conchas, helechos, araucarias, cactus, girasoles, los anillos de Saturno, etc., etc., todo remite al número Φ.
*En la antigua Grecia se utilizó para establecer las proporciones de los templos tanto en su planta como en sus fachadas. En el Partenón Fidias también lo aplicó en la composición de las esculturas. ( la denominación Fi la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en su honor).
Los artistas del Renacimiento utilizaron el número de oro en múltiples ocasiones tanto en pintura, escultura como arquitectura para lograr el equilibrio y la belleza. Leonardo Da Vinci, por ejemplo lo utilizó para definir todas las proporciones
fundamentales en su pintura " La Ultima Cena ," desde las dimensiones de la mesa, hasta la disposición de Cristo y los discípulos sentados, así como las proporciones de las paredes y ventanas al fondo.
Johanes Kepler (1571-1630), descubridor de la naturaleza elíptica de las órbitas de los planetas alrededor del sol, mencionó también la “Divina Proporción", diciendo esto acerca de ella: "La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa."
Hoy en día se puede ver en multitud de diseños. El más conocido y difundido sería la medida de las tarjetas de crédito la cual también sigue dicho patrón, así como nuestro carné de identidad y también en las cajetillas de tabaco.
En la arquitectura moderna sigue usándose, por ejemplo está presente en el conocido edificio de la ONU en Nueva York, el cual no es más que un gran prisma rectangular con una cara que sigue las citadas proporciones.
Existe la relación del número áureo también en el pentáculo, un símbolo pagano más tarde acogido por la iglesia católica para representar a la Vírgen María , y también por Leonardo da Vinci para asentar en él al Hombre de Vitrubio.
Este número no es usado como tal, se usa en lo referente a proporción, y esta proporción es la que se encuentra en la serie de Fibonacci (aproximadamente, cuanto mas grandes sean lo números mas se acercara la proporción a Phi, pero como es un número infinito, nunca dara Phi exactamente).
Usos del número aureo en la actualidad. Estudios muy recientes han demostrado que el ser humano se siente atraído y le resulta más atractivo todo aquello que guarda una relación aurea en su construcción. Los rostros de los hombres y mujeres más deseados son lo que podemos denominar rostros aureos, no olvide el ejemplo de la oreja que puse arriba o las relaciones entre las medidas de los huesos.
El número áureo en la música
La sucesión de Fibonacci está basada en el número áureo. El cociente de un término de la sucesión con el anterior tiende al número áureo.
El compositor húngaro Bela Bartok y el francés Olivier Messiaen utilizaron esta serie para determinar la duración de las notas de algunas de sus obras.
El compositor mexicano Silvestre Revueltas (1899-1945) utilizó también el número áureo en su obra Alcancías , para organizar las partes (unidades formales).
EN LA NATURALEZA:
La proporción áurea en la naturaleza
Quizás lo que es más sorprendente acerca de la razón dorada es que puede ser vista como un fenómeno que ocurre de forma natural en la naturaleza. Se expresa en la disposición de las ramas a lo largo de los tallos de las plantas y las venas de las hojas. Se puede observar en los esqueletos de los animales y los seres humanos y la ramificación de sus venas y nervios. Incluso se puede ver en las proporciones de compuestos químicos y la geometría de los cristales.
La cola del pavo real. Este pavo real se está burlando de los "matemáticos” místicos). Las manchas en las plumas de su cola parecen formar patrones en espiral.
La cola del camaleón. Esta es la cola de un camaleón. Parece decirnos con su cola enroscada algo así como: "Yo también puedo crear algo parecido a una espiral de oro. Es muy sencillo. Simplemente comienzo con una cola, que es básicamente un cono largo y delgado, y la enrollo con fuerza. El resultado es tan bueno como la caparazón del nautilo por el que todo el mundo hace tanto escándalo".
COMO SE REALIZA UN RECTANGULO AUREO?
El rectángulo áureo tiene una propiedad muy interesante. A partir de él podemos obtener una infinidad de nuevos rectángulos áureos. El proceso es iterativo y consiste en quitar a cada rectángulo áureo un cuadrado, la superficie que queda luego de hacer esto es un nuevo rectángulo áureo.
Es posible también aplicar el proceso a la inversa: a partir de un rectángulo áureo, puede construirse otro más grande añadiéndole un cuadrado de lado igual al lado mayor del rectángulo original.
Pasos a seguir, para poder realizar el rectángulo aureo:
Para hacer el rectángulo ÁUREO dibujamos un cuadrado. Sobre este cuadrado marcamos el punto medio de uno de los lados. A continuación trazamos un arco de circunferencia cuyo radio sea desde este punto medio, hasta el vértice superior tratando de encontrar la prolongación del lado inferior.
El segundo lo obtenemos trazando paralelas a los lados del cuadrado. A partir de ahora obtener rectángulos áureos es fácil, basta con trazar solo sobre el lado más largo del rectángulo anterior un cuadrado, y así obtendríamos nuestro segundo rectángulo áureo.
Estos rectángulos tienen una propiedad interesante: si unimos mediante arcos de circunferencias los vértices consecutivos de los cuadrados, obtendremos una curva especial que se llama espiral de Durero.
PARA QUE PUEDE AYUDARTE EL RECTANGULO AUREO?
Bueno el rectángulo aureo nos ayuda mucho en la actualidad ya que este proceso o método lo usan arquitectos, los profesores de educación, los pintores, fotógrafos etc…
Aquí les explicare un poco de cómo se utiliza en la arquitectura como en los demás conceptos:
La primera aparición del número de oro en la arquitectura fue construida hacia el año 2600 a.C en la pirámide de Keops.
Este número nos deparará muchas más sorpresas. Porque también los griegos lo utilizaron en la simetría del Partenón que contiene rectángulos que se basan en el número de oro. Con respecto al Partenón, las fachadas son un rectángulo áureo
CURIOSIDADES:
6. La sucesión de Fibonacci está llena de anécdotas matemáticas que harán las delicias de los más curiosos. Por ejemplo: si sumamos 10 números consecutivos de la serie elegidos al azar, el resultado siempre es múltiplo de 11.
21+34+55+89+144+233+377+610+897+1.597=4.147=11x377
89+144+233+377+610+987+1.597+2.584+4.181+6.765=17.567=11x1.597
De hecho, los resultados son iguales a multiplicar por 11 el séptimo número elegido, en estos dos casos, 377 y 1.597
7. Se ha estudiado mucho la sucesión de Fibonacci y el conocimiento sobre ella es amplio, pero no completo. De hecho, hay una conjetura aún sin demostrar: que la sucesión de Fibonacci contiene infinitos números primos.
Pero qué tiene de especial ese número? ¿Por qué no es como los demás? Del mismo modo que el número Pi (3,141592...) representa el cuerpo geométrico más perfecto, la esfera, 1,618033... es el número de la belleza. El monje del siglo XV Luca Pacioli, quizá influido por la idea de que los nuevos conocimientos debían adaptarse a las creencias de la Iglesia, lo llamó La Divina Pro porción e indicó: "Tiene una correspondencia con la Santísima Trinidad, es decir, así como hay una misma sustancia entre tres personas -Padre, Hijo y Espíritu Santo-, de igual modo una misma proporción se encontrará siempre entre tres términos, y nunca de más o de menos". Lo que se esconde tras esta esotérica frase, más propia de
alquimistas y ocultistas que de matemáticos, es ese número, el cual se cree que fue bautizado por Leonardo da Vinci con el nombre de número áureo.
EN EL ARTE:
Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca Pacioli editado en 1509.
En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.
La trigonometría y el número de oro
Consideremos un pentágono regular en el cual se han dibujado las diagonales. En esta figura sólo aparecen tres ángulos diferentes. Miden 36º, 72º y 108º. La relación entre estos ángulos es la siguiente: 72 es el doble de 36 y 108 es el triple de 36. Hay varios tipos diferentes de triángulos isósceles, de los cuales seleccionamos tres: los triángulos ABE, ABF y AFG. El resto de triángulos son semejantes a alguno de estos y no aportan información adicional.
QUE ARTISTAS HAN UTILIZADO EL TRIANGULO AUREO?
La pirámide de Keops, el Partenón, Edificio Naciones Unidas, el ADN, hojas, pétalos, brócoli, semillas, tarjetas de crédito, entomología, la Mona Lisa , el Hombre de Vitrubio, conchas, helechos, araucarias, cactus, girasoles, los anillos de Saturno, etc., etc., todo remite al número Φ.
*En la antigua Grecia se utilizó para establecer las proporciones de los templos tanto en su planta como en sus fachadas. En el Partenón Fidias también lo aplicó en la composición de las esculturas. ( la denominación Fi la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en su honor).
Los artistas del Renacimiento utilizaron el número de oro en múltiples ocasiones tanto en pintura, escultura como arquitectura para lograr el equilibrio y la belleza. Leonardo Da Vinci, por ejemplo lo utilizó para definir todas las proporciones
fundamentales en su pintura " La Ultima Cena ," desde las dimensiones de la mesa, hasta la disposición de Cristo y los discípulos sentados, así como las proporciones de las paredes y ventanas al fondo.
Johanes Kepler (1571-1630), descubridor de la naturaleza elíptica de las órbitas de los planetas alrededor del sol, mencionó también la “Divina Proporción", diciendo esto acerca de ella: "La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa."
Hoy en día se puede ver en multitud de diseños. El más conocido y difundido sería la medida de las tarjetas de crédito la cual también sigue dicho patrón, así como nuestro carné de identidad y también en las cajetillas de tabaco.
En la arquitectura moderna sigue usándose, por ejemplo está presente en el conocido edificio de la ONU en Nueva York, el cual no es más que un gran prisma rectangular con una cara que sigue las citadas proporciones.
Existe la relación del número áureo también en el pentáculo, un símbolo pagano más tarde acogido por la iglesia católica para representar a la Vírgen María , y también por Leonardo da Vinci para asentar en él al Hombre de Vitrubio.
Este número no es usado como tal, se usa en lo referente a proporción, y esta proporción es la que se encuentra en la serie de Fibonacci (aproximadamente, cuanto mas grandes sean lo números mas se acercara la proporción a Phi, pero como es un número infinito, nunca dara Phi exactamente).
Usos del número aureo en la actualidad. Estudios muy recientes han demostrado que el ser humano se siente atraído y le resulta más atractivo todo aquello que guarda una relación aurea en su construcción. Los rostros de los hombres y mujeres más deseados son lo que podemos denominar rostros aureos, no olvide el ejemplo de la oreja que puse arriba o las relaciones entre las medidas de los huesos.
El número áureo en la música
La sucesión de Fibonacci está basada en el número áureo. El cociente de un término de la sucesión con el anterior tiende al número áureo.
El compositor húngaro Bela Bartok y el francés Olivier Messiaen utilizaron esta serie para determinar la duración de las notas de algunas de sus obras.
El compositor mexicano Silvestre Revueltas (1899-1945) utilizó también el número áureo en su obra Alcancías , para organizar las partes (unidades formales).
EN LA NATURALEZA:
La proporción áurea en la naturaleza
Quizás lo que es más sorprendente acerca de la razón dorada es que puede ser vista como un fenómeno que ocurre de forma natural en la naturaleza. Se expresa en la disposición de las ramas a lo largo de los tallos de las plantas y las venas de las hojas. Se puede observar en los esqueletos de los animales y los seres humanos y la ramificación de sus venas y nervios. Incluso se puede ver en las proporciones de compuestos químicos y la geometría de los cristales.
La cola del pavo real. Este pavo real se está burlando de los "matemáticos” místicos). Las manchas en las plumas de su cola parecen formar patrones en espiral.
La cola del camaleón. Esta es la cola de un camaleón. Parece decirnos con su cola enroscada algo así como: "Yo también puedo crear algo parecido a una espiral de oro. Es muy sencillo. Simplemente comienzo con una cola, que es básicamente un cono largo y delgado, y la enrollo con fuerza. El resultado es tan bueno como la caparazón del nautilo por el que todo el mundo hace tanto escándalo".
EN CONTRA Y A FAVOR:
Por supuesto, gran parte de esto es completamente absurdo. Las matemáticas no "explican" lo que sea en la naturaleza, sino que usa modelos matemáticos muy potentes para describir los patrones y las leyes de la naturaleza. Creo que es
seguro decir que la secuencia de Fibonacci, la proporción dorada, y el rectángulo de oro, jamás han conducido de manera directa al descubrimiento de una ley fundamental de la naturaleza. Cuando vemos un patrón numérico o geométrico ordenado en la naturaleza, nos damos cuenta que hay que cavar más profundo para encontrar la razón subyacente de por qué estos patrones emergen.
No es difícil seleccionar ejemplos que parecen apoyar la idea de que los patrones de la naturaleza se basan en Φ. Pero si eso no funciona para un caso particular, algunas personas empiezan a buscar relaciones de tamaños entre los primeros valores de la serie de Fibonacci, claramente antes de que esas relaciones comiencen a converger a Φ.
Conclusión
Para algunas personas no es algo complejo encontrar ejemplos para casi cualquier patrón o una relación matemática que uno desee. Por eso, las personas suelen cometen el error de suponer que esto revela un principio místico que rige la naturaleza. Esto se refuerza al hacer caso omiso de los casos de igual importancia que no se ajustan al patrón. Si el ajuste no es muy bueno, se aproximan o manipulan las cifras. Si algunas cosas siguen sin poder adaptarse, simplemente ponen la excusa son "casos unicos".
La proporción áurea se basa en una médida o número que recibe también el nombre de áureo, de oro, y se representa por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula). Es una proporción de más o menos: 2 + 1,6 , es decir, que una medida a=2 más otra medida b=1,618…. forman una medida que sumaría c= 3,618…. Aunque esta es la forma que yo me he inventado para acabar de comprender rápidamente esta proporción y para detectar que en una composición si que existe esta proporción áurea entre unas medidas a, b y c. Y que, por lo tanto, existe un equilibrio mágico donde esta medida contiene a otra más un poquito extra.
Este es un rectángulo especial como logramos ver. Los griegos lo consideran de peculiar belleza y lo utilizaron correctamente en su arquitectura.Dicen que el número áureo es un número irracional, que no encaja en las medidas exactas. Y efectivamente, porque la medida b es como un pequeño infinito, que nunca se acaba pero hacia más pequeño. El número áureo está compuesto por un número infinito de dígitos que además no siguen pauta alguna por lo que nos ayudamos de la notación aritmética para conocerlo:
El Rectángulo Áureo
Este polígono que a menudo pasa desapercibido para nuestros sentidos y es sumamanete fácil de encontrar sí, pero más fácil aún es darnos cuenta de si observamos es un rectángulo áureo: suficiente con dividir la altura y la base y ver si el resultado se aproxima a 1,618. ¿Sí? Entonces es un rectángulo áureo.
Por otro lado, si deseamos comparar un par de rectángulos distintos y ver si cumplen la divina proporción basta con colocar uno sobre otro haciendo coincidir uno de sus vértices. Entonces, trazamos la diagonal y si coinciden casos es que son similares y por tanto si el primero era áureo, el segundo también lo será.
COMO EMPEZO EL RECTANGULO AUREO?
Leonardo Pisano, también conocido como Fibonacci, fue un famoso matemático italiano que difundió por Europa el sistema de numeración árabe (1, 2, 3...) con base decimal y con un valor nulo (el cero). Pero el gran descubrimiento de
Fibonacci fue la Sucesión de Fibonacci que, posteriormente, dió lugar a la proporción áurea.
Su descubrimiento se lo debemos, como tantas otras cosas, a los griegos. Ellos le dieron un tratamiento básicamente geométrico, y fue Euclides en su obra elementos uno de los primeros que se refirió a este concepto.
COMO SE REALIZA UN RECTANGULO AUREO?
El rectángulo áureo tiene una propiedad muy interesante. A partir de él podemos obtener una infinidad de nuevos rectángulos áureos. El proceso es iterativo y consiste en remover a cada rectángulo áureo un cuadrado, la superficie que queda luego de hacer esto produce un nuevo rectángulo áureo.
Es posible también aplicar el proceso a la inversa: a partir de un rectángulo áureo, puede construirse otro más grande añadiéndole un cuadrado de lado igual al lado mayor del rectángulo original.
Pasos a seguir, para poder realizar el rectángulo aureo:
Para hacer el rectángulo ÁUREO dibujamos un cuadrado. Sobre este cuadrado marcamos el punto medio de uno de los lados. A continuación trazamos un arco de circunferencia cuyo radio sea desde este punto medio, hasta el vértice superior tratando de encontrar la prolongación del lado inferior.
El segundo lo obtenemos trazando paralelas a los lados del cuadrado. A partir de ahora obtener rectángulos áureos es fácil, basta con trazar solo sobre el lado más largo del rectángulo anterior un cuadrado, y así obtendríamos nuestro segundo rectángulo áureo.
Estos rectángulos tienen una propiedad interesante: si unimos mediante arcos de circunferencias los vértices consecutivos de los cuadrados, obtendremos una curva especial que se llama espiral de Durero.
PARA QUE PUEDE AYUDARTE EL RECTANGULO AUREO?
Bueno el rectángulo aureo nos ayuda mucho en la actualidad ya que este proceso o método lo usan arquitectos, los profesores de educación, los pintores, fotógrafos etc…
Aquí les explicare un poco de cómo se utiliza en la arquitectura como en los demás conceptos:
La primera aparición del número de oro en la arquitectura fue construida hacia el año 2600 a.C en la pirámide de Keops.
Este número nos deparará muchas más sorpresas. Porque también los griegos lo utilizaron en la simetría del Partenón que contiene rectángulos que se basan en el número de oro. Con respecto al Partenón, las fachadas son un rectángulo áureo
CURIOSIDADES:
6. La sucesión de Fibonacci está llena de anécdotas matemáticas que harán las delicias de los más curiosos. Por ejemplo: si sumamos 10 números consecutivos de la serie elegidos al azar, el resultado siempre es múltiplo de 11.
21+34+55+89+144+233+377+610+897+1.597=4.147=11x377
89+144+233+377+610+987+1.597+2.584+4.181+6.765=17.567=11x1.597
De hecho, los resultados son iguales a multiplicar por 11 el séptimo número elegido, en estos dos casos, 377 y 1.597
7. Se ha estudiado mucho la sucesión de Fibonacci y el conocimiento sobre ella es amplio, pero no completo. De hecho, hay una conjetura aún sin demostrar: que la sucesión de Fibonacci contiene infinitos números primos.
Pero qué tiene de especial ese número? ¿Por qué no es como los demás? Del mismo modo que el número Pi (3,141592...) representa el cuerpo geométrico más perfecto, la esfera, 1,618033... es el número de la belleza. El monje del siglo XV Luca Pacioli, quizá influido por la idea de que los nuevos conocimientos debían adaptarse a las creencias de la Iglesia, lo llamó La Divina Pro porción e indicó: "Tiene una correspondencia con la Santísima Trinidad, es decir, así como hay una misma sustancia entre tres personas -Padre, Hijo y Espíritu Santo-, de igual modo una misma proporción se encontrará siempre entre tres términos, y nunca de más o de menos". Lo que se esconde tras esta esotérica frase, más propia de
alquimistas y ocultistas que de matemáticos, es ese número, el cual se cree que fue bautizado por Leonardo da Vinci con el nombre de número áureo.
EN EL ARTE:
Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca Pacioli editado en 1509.
En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.
La trigonometría y el número de oro
Consideremos un pentágono regular en el cual se han dibujado las diagonales. En esta figura sólo aparecen tres ángulos diferentes. Miden 36º, 72º y 108º. La relación entre estos ángulos es la siguiente: 72 es el doble de 36 y 108 es el triple de 36. Hay varios tipos diferentes de triángulos isósceles, de los cuales seleccionamos tres: los triángulos ABE, ABF y AFG. El resto de triángulos son semejantes a alguno de estos y no aportan información adicional.
QUE ARTISTAS HAN UTILIZADO EL TRIANGULO AUREO?
La pirámide de Keops, el Partenón, Edificio Naciones Unidas, el ADN, hojas, pétalos, brócoli, semillas, tarjetas de crédito, entomología, la Mona Lisa , el Hombre de Vitrubio, conchas, helechos, araucarias, cactus, girasoles, los anillos de Saturno, etc., etc., todo remite al número Φ.
*En la antigua Grecia se utilizó para establecer las proporciones de los templos tanto en su planta como en sus fachadas. En el Partenón Fidias también lo aplicó en la composición de las esculturas. ( la denominación Fi la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en su honor).
Los artistas del Renacimiento utilizaron el número de oro en múltiples ocasiones tanto en pintura, escultura como arquitectura para lograr el equilibrio y la belleza. Leonardo Da Vinci, por ejemplo lo utilizó para definir todas las proporciones
fundamentales en su pintura " La Ultima Cena ," desde las dimensiones de la mesa, hasta la disposición de Cristo y los discípulos sentados, así como las proporciones de las paredes y ventanas al fondo.
Johanes Kepler (1571-1630), descubridor de la naturaleza elíptica de las órbitas de los planetas alrededor del sol, mencionó también la “Divina Proporción", diciendo esto acerca de ella: "La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa."
Hoy en día se puede ver en multitud de diseños. El más conocido y difundido sería la medida de las tarjetas de crédito la cual también sigue dicho patrón, así como nuestro carné de identidad y también en las cajetillas de tabaco.
En la arquitectura moderna sigue usándose, por ejemplo está presente en el conocido edificio de la ONU en Nueva York, el cual no es más que un gran prisma rectangular con una cara que sigue las citadas proporciones.
Existe la relación del número áureo también en el pentáculo, un símbolo pagano más tarde acogido por la iglesia católica para representar a la Vírgen María , y también por Leonardo da Vinci para asentar en él al Hombre de Vitrubio.
Este número no es usado como tal, se usa en lo referente a proporción, y esta proporción es la que se encuentra en la serie de Fibonacci (aproximadamente, cuanto mas grandes sean lo números mas se acercara la proporción a Phi, pero como es un número infinito, nunca dara Phi exactamente).
Usos del número aureo en la actualidad. Estudios muy recientes han demostrado que el ser humano se siente atraído y le resulta más atractivo todo aquello que guarda una relación aurea en su construcción. Los rostros de los hombres y mujeres más deseados son lo que podemos denominar rostros aureos, no olvide el ejemplo de la oreja que puse arriba o las relaciones entre las medidas de los huesos.
El número áureo en la música
La sucesión de Fibonacci está basada en el número áureo. El cociente de un término de la sucesión con el anterior tiende al número áureo.
El compositor húngaro Bela Bartok y el francés Olivier Messiaen utilizaron esta serie para determinar la duración de las notas de algunas de sus obras.
El compositor mexicano Silvestre Revueltas (1899-1945) utilizó también el número áureo en su obra Alcancías , para organizar las partes (unidades formales).
EN LA NATURALEZA:
La proporción áurea en la naturaleza
Quizás lo que es más sorprendente acerca de la razón dorada es que puede ser vista como un fenómeno que ocurre de forma natural en la naturaleza. Se expresa en la disposición de las ramas a lo largo de los tallos de las plantas y las venas de las hojas. Se puede observar en los esqueletos de los animales y los seres humanos y la ramificación de sus venas y nervios. Incluso se puede ver en las proporciones de compuestos químicos y la geometría de los cristales.
La cola del pavo real. Este pavo real se está burlando de los "matemáticos” místicos). Las manchas en las plumas de su cola parecen formar patrones en espiral.
La cola del camaleón. Esta es la cola de un camaleón. Parece decirnos con su cola enroscada algo así como: "Yo también puedo crear algo parecido a una espiral de oro. Es muy sencillo. Simplemente comienzo con una cola, que es básicamente un cono largo y delgado, y la enrollo con fuerza. El resultado es tan bueno como la caparazón del nautilo por el que todo el mundo hace tanto escándalo".
COMO SE REALIZA UN RECTANGULO AUREO?
El rectángulo áureo tiene una propiedad muy interesante. A partir de él podemos obtener una infinidad de nuevos rectángulos áureos. El proceso es iterativo y consiste en quitar a cada rectángulo áureo un cuadrado, la superficie que queda luego de hacer esto es un nuevo rectángulo áureo.
Es posible también aplicar el proceso a la inversa: a partir de un rectángulo áureo, puede construirse otro más grande añadiéndole un cuadrado de lado igual al lado mayor del rectángulo original.
Pasos a seguir, para poder realizar el rectángulo aureo:
Para hacer el rectángulo ÁUREO dibujamos un cuadrado. Sobre este cuadrado marcamos el punto medio de uno de los lados. A continuación trazamos un arco de circunferencia cuyo radio sea desde este punto medio, hasta el vértice superior tratando de encontrar la prolongación del lado inferior.
El segundo lo obtenemos trazando paralelas a los lados del cuadrado. A partir de ahora obtener rectángulos áureos es fácil, basta con trazar solo sobre el lado más largo del rectángulo anterior un cuadrado, y así obtendríamos nuestro segundo rectángulo áureo.
Estos rectángulos tienen una propiedad interesante: si unimos mediante arcos de circunferencias los vértices consecutivos de los cuadrados, obtendremos una curva especial que se llama espiral de Durero.
PARA QUE PUEDE AYUDARTE EL RECTANGULO AUREO?
Bueno el rectángulo aureo nos ayuda mucho en la actualidad ya que este proceso o método lo usan arquitectos, los profesores de educación, los pintores, fotógrafos etc…
Aquí les explicare un poco de cómo se utiliza en la arquitectura como en los demás conceptos:
La primera aparición del número de oro en la arquitectura fue construida hacia el año 2600 a.C en la pirámide de Keops.
Este número nos deparará muchas más sorpresas. Porque también los griegos lo utilizaron en la simetría del Partenón que contiene rectángulos que se basan en el número de oro. Con respecto al Partenón, las fachadas son un rectángulo áureo
CURIOSIDADES:
6. La sucesión de Fibonacci está llena de anécdotas matemáticas que harán las delicias de los más curiosos. Por ejemplo: si sumamos 10 números consecutivos de la serie elegidos al azar, el resultado siempre es múltiplo de 11.
21+34+55+89+144+233+377+610+897+1.597=4.147=11x377
89+144+233+377+610+987+1.597+2.584+4.181+6.765=17.567=11x1.597
De hecho, los resultados son iguales a multiplicar por 11 el séptimo número elegido, en estos dos casos, 377 y 1.597
7. Se ha estudiado mucho la sucesión de Fibonacci y el conocimiento sobre ella es amplio, pero no completo. De hecho, hay una conjetura aún sin demostrar: que la sucesión de Fibonacci contiene infinitos números primos.
Pero qué tiene de especial ese número? ¿Por qué no es como los demás? Del mismo modo que el número Pi (3,141592...) representa el cuerpo geométrico más perfecto, la esfera, 1,618033... es el número de la belleza. El monje del siglo XV Luca Pacioli, quizá influido por la idea de que los nuevos conocimientos debían adaptarse a las creencias de la Iglesia, lo llamó La Divina Pro porción e indicó: "Tiene una correspondencia con la Santísima Trinidad, es decir, así como hay una misma sustancia entre tres personas -Padre, Hijo y Espíritu Santo-, de igual modo una misma proporción se encontrará siempre entre tres términos, y nunca de más o de menos". Lo que se esconde tras esta esotérica frase, más propia de
alquimistas y ocultistas que de matemáticos, es ese número, el cual se cree que fue bautizado por Leonardo da Vinci con el nombre de número áureo.
EN EL ARTE:
Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca Pacioli editado en 1509.
En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.
La trigonometría y el número de oro
Consideremos un pentágono regular en el cual se han dibujado las diagonales. En esta figura sólo aparecen tres ángulos diferentes. Miden 36º, 72º y 108º. La relación entre estos ángulos es la siguiente: 72 es el doble de 36 y 108 es el triple de 36. Hay varios tipos diferentes de triángulos isósceles, de los cuales seleccionamos tres: los triángulos ABE, ABF y AFG. El resto de triángulos son semejantes a alguno de estos y no aportan información adicional.
QUE ARTISTAS HAN UTILIZADO EL TRIANGULO AUREO?
La pirámide de Keops, el Partenón, Edificio Naciones Unidas, el ADN, hojas, pétalos, brócoli, semillas, tarjetas de crédito, entomología, la Mona Lisa , el Hombre de Vitrubio, conchas, helechos, araucarias, cactus, girasoles, los anillos de Saturno, etc., etc., todo remite al número Φ.
*En la antigua Grecia se utilizó para establecer las proporciones de los templos tanto en su planta como en sus fachadas. En el Partenón Fidias también lo aplicó en la composición de las esculturas. ( la denominación Fi la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en su honor).
Los artistas del Renacimiento utilizaron el número de oro en múltiples ocasiones tanto en pintura, escultura como arquitectura para lograr el equilibrio y la belleza. Leonardo Da Vinci, por ejemplo lo utilizó para definir todas las proporciones
fundamentales en su pintura " La Ultima Cena ," desde las dimensiones de la mesa, hasta la disposición de Cristo y los discípulos sentados, así como las proporciones de las paredes y ventanas al fondo.
Johanes Kepler (1571-1630), descubridor de la naturaleza elíptica de las órbitas de los planetas alrededor del sol, mencionó también la “Divina Proporción", diciendo esto acerca de ella: "La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa."
Hoy en día se puede ver en multitud de diseños. El más conocido y difundido sería la medida de las tarjetas de crédito la cual también sigue dicho patrón, así como nuestro carné de identidad y también en las cajetillas de tabaco.
En la arquitectura moderna sigue usándose, por ejemplo está presente en el conocido edificio de la ONU en Nueva York, el cual no es más que un gran prisma rectangular con una cara que sigue las citadas proporciones.
Existe la relación del número áureo también en el pentáculo, un símbolo pagano más tarde acogido por la iglesia católica para representar a la Vírgen María , y también por Leonardo da Vinci para asentar en él al Hombre de Vitrubio.
Este número no es usado como tal, se usa en lo referente a proporción, y esta proporción es la que se encuentra en la serie de Fibonacci (aproximadamente, cuanto mas grandes sean lo números mas se acercara la proporción a Phi, pero como es un número infinito, nunca dara Phi exactamente).
Usos del número aureo en la actualidad. Estudios muy recientes han demostrado que el ser humano se siente atraído y le resulta más atractivo todo aquello que guarda una relación aurea en su construcción. Los rostros de los hombres y mujeres más deseados son lo que podemos denominar rostros aureos, no olvide el ejemplo de la oreja que puse arriba o las relaciones entre las medidas de los huesos.
El número áureo en la música
La sucesión de Fibonacci está basada en el número áureo. El cociente de un término de la sucesión con el anterior tiende al número áureo.
El compositor húngaro Bela Bartok y el francés Olivier Messiaen utilizaron esta serie para determinar la duración de las notas de algunas de sus obras.
El compositor mexicano Silvestre Revueltas (1899-1945) utilizó también el número áureo en su obra Alcancías , para organizar las partes (unidades formales).
EN LA NATURALEZA:
La proporción áurea en la naturaleza
Quizás lo que es más sorprendente acerca de la razón dorada es que puede ser vista como un fenómeno que ocurre de forma natural en la naturaleza. Se expresa en la disposición de las ramas a lo largo de los tallos de las plantas y las venas de las hojas. Se puede observar en los esqueletos de los animales y los seres humanos y la ramificación de sus venas y nervios. Incluso se puede ver en las proporciones de compuestos químicos y la geometría de los cristales.
La cola del pavo real. Este pavo real se está burlando de los "matemáticos” místicos). Las manchas en las plumas de su cola parecen formar patrones en espiral.
La cola del camaleón. Esta es la cola de un camaleón. Parece decirnos con su cola enroscada algo así como: "Yo también puedo crear algo parecido a una espiral de oro. Es muy sencillo. Simplemente comienzo con una cola, que es básicamente un cono largo y delgado, y la enrollo con fuerza. El resultado es tan bueno como la caparazón del nautilo por el que todo el mundo hace tanto escándalo".
EN CONTRA Y A FAVOR:
Por supuesto, gran parte de esto es completamente absurdo. Las matemáticas no "explican" lo que sea en la naturaleza, sino que usa modelos matemáticos muy potentes para describir los patrones y las leyes de la naturaleza. Creo que es
seguro decir que la secuencia de Fibonacci, la proporción dorada, y el rectángulo de oro, jamás han conducido de manera directa al descubrimiento de una ley fundamental de la naturaleza. Cuando vemos un patrón numérico o geométrico ordenado en la naturaleza, nos damos cuenta que hay que cavar más profundo para encontrar la razón subyacente de por qué estos patrones emergen.
No es difícil seleccionar ejemplos que parecen apoyar la idea de que los patrones de la naturaleza se basan en Φ. Pero si eso no funciona para un caso particular, algunas personas empiezan a buscar relaciones de tamaños entre los primeros valores de la serie de Fibonacci, claramente antes de que esas relaciones comiencen a converger a Φ.
Conclusión
Para algunas personas no es algo complejo encontrar ejemplos para casi cualquier patrón o una relación matemática que uno desee. Por eso, las personas suelen cometen el error de suponer que esto revela un principio místico que rige la naturaleza. Esto se refuerza al hacer caso omiso de los casos de igual importancia que no se ajustan al patrón. Si el ajuste no es muy bueno, se aproximan o manipulan las cifras. Si algunas cosas siguen sin poder adaptarse, simplemente ponen la excusa son "casos unicos".
domingo, 10 de enero de 2016
Como lo comentamos en la clase pasada de funciones matemáticas con el licenciado Mata la razón dorada la vemos en todas partes edificios, objetos, nuestro cuerpo etc...
La razón de oro con diferentes tipos de arte como el egipcio, el griego, artesanía, cerámica las esculturas etc
vemos como hay simetría y asimetria la perfección de los cuerpos y o estructuras
vemos la proporcionalidad de sus lados
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